玻色化方法（一）

Luttinger模型：一维相互作用电子系统

我们首先考虑一维的近自由相互作用电子，叫做Luttinger模型，哈密顿写作：

其中

代表产生一个无自旋的（可以考虑成一个完全极化的能带上的电子，也可以在之后再恢复自旋能带）、动量为

的准电子,

是化学势,

是系统的长度，

代表了不同电子的相互作用。

我们首先把哈密顿量改写成两个部分，自由的和非自由的, i.e,

.一维系统最特殊的地方在于，几乎只有密度涨落是重要的。怎么去想象这件事情呢？要去最优化一维系统的排列，一维的电子只能互相推（形成密度涨落）形成目标态，而其他的维度还可以绕着转。

一维电子系统的费米面也很特殊，是两个孤立的点

,这也和高维系统非常的不一样。

我们现在去改写自由的哈密的量来获得一些启发。

1.1 展开自由哈密顿

把系统在费米面附近展开是再自然不过的事情了，因为集体的激发仅仅只和费米面附近的物理有关，用一个泰勒展开：

其中

表示想左（右）传播的费米子。

那么自由哈密顿就可以展开为：

这可以被看作是一个狄拉克哈密顿量；但我们应当记住，我们在作线性近似的时候是在一个小截断之下的，以保证线性近似的合理性：

。这个模型一个基本的激发就是粒子——空穴激发，那么我们就来检查一下粒子——空穴激发是不是有良定义的动量和其他的量子数，我们可以写出来粒子——空穴激发的谱：

因此，线性系统确实具有良定义的粒子——空穴激发。因此，很自然的我们想用粒子空穴激发对应的算符

去重构我们的理论。这是一个非常重要的出发点，从这里我们可以发展这样一整套叫做玻色化的理论。你也可以直接的去计算这个算符，得到这个算符是密度算符的傅立叶变换：

自然地，

因为密度算符是厄米的。

1.2 计算密度算符（的对易关系）

我们在冲向玻色化理论之前，当我们去对付密度算符的傅立叶变换（或者说密度算符的线性变换）我们应该谨慎地去避免一些无穷大。在狄拉克型哈密顿，费米能以下是有无穷的占据数的。因此，我们得去介绍一下下面的叫做正规排序的小吹克斯：

在一个正规排序的乘积中，湮灭算符排在右边而产生算符排在左边。对于两个产生湮灭算符的线性组合的算符

，正规排序等价于原来的算符减去这个算符的真空期待，i.e:

那么我们的任务就是去找出密度算符的对易关系，然后线性组合他们去得到原来的哈密顿量，前一步可以这样去完成：

我们可能天真的认为，改变一下求和指标就可以得到结果是零——结果这是错的：

为什么？因为傅立叶变换的裸的密度算符含有无穷多的占据态使得这个等式变成了无穷大减去无穷大（这个我们早就遇到了，例如

）正确的做法是我们采用上面的正规序小吹克斯去计算这个值——因为正规乘积的矩阵元总是有限的，因此：

第一项现在安全的等于零了，现在我们可以用

去计算第二个了，得到：

现在有人又要去简单的得到结论：第二项等于零，因为：

这显然不对，因为我们实际上在动量空间有一个截断！因为

改变了阶段，这个结果其实就是在

之间的占据数，因为一维系统密度的良好定义，这个结果就是

并且惊人的和截断的大小无关！因此我们得到了结论：

（这是U(1)KM代数的前一部分）。

这个结论很有意思，因为密度算符的玻色性来自于我们考虑了一个很大部分的占据态。因此我们接下来可以安全的考虑用玻色的密度涨落来写哈密顿了。

1.3 Luttinger模型的玻色化

我们现在从密度算符里去定义玻色算符。这个方法其实非常的直接，但是也能给出来一些启发。

注意到，上面对易关系的右边居然是动量依赖的，自然的方法就是一个密度算符分一半，i.e,

。

然后再考虑一些符号的问题，我们最后可以得到这个问题的解决方案：

其中

且

0' /> 。紧凑的写法是

,其中

是Heaviside函数。

有了玻色算符，我们现在就去找理论的表示。在进入细节之前，我想指出一个细节：一个玻色算符里有两个费米算符，我们又用两个玻色算符去表达自由哈密顿，这看似有些矛盾。其实，原本的两个费米算符可以轻易的映射到四个算符上，例如

，这同也表示，如果我们能够玻色化自由哈密顿，相互作用也是四次的，我们就能期待相互作用也可以被玻色化。

一个系统的哈密顿可以有多种表示，但是他们的运动方程都是等价的。正如海森堡运动方程告诉我们的，唯一重要的东西是整个算符和哈密顿的对易关系。因此，我们去计算玻色算符和自由哈密顿的反对易关系，我们有：

同样类似的关系在

也是对的（这是U(1)KM代数的另一个部分），我们最终可以写出变换之后的哈密顿了

然后我们的相互作用可以改写成为

0} {q\left( {{g_4}{b_q}b_q^\dag + {g_4}b_{ - q}^\dag {b_{ - q}} + {g_2}{b_q}{b_{ - q}} + {g_2}b_{ - q}^\dag {b_q}} \right)} \hfill \\ = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{q > 0} {q\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_q}}&{b_{ - q}^\dag } \end{array}} \right)} {K_{ee}}\left( \begin{gathered} b_q^\dag \hfill \\ {b_{ - q}} \hfill \\ \end{gathered} \right) \hfill \\ {K_{ee}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_4}}&{{g_2}} \\ {{g_2}}&{{g_4}} \end{array}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}' />

相互作用部分也是二次的。但是包含了粒子数不守恒的贡献。和自由哈密顿一起我们就可以用Bogoliubov变换去对角化这个哈密顿了，虽然比较trivial，但是也有值得注意的：

为了对角化哈密顿

0} {q\Psi _q^\dag K{\Psi _q}} ,{\Psi _q} = \left( \begin{gathered} b_q^\dag \hfill \\ {b_{ - q}} \hfill \\ \end{gathered} \right) \end{equation}' />

我们需要找到一个变换去把核矩阵对角化了，而且要把广义的对易关系保持住费米速度，就是说：

变换矩阵还得和这个对易，也就是说：

0} {q\Psi _q^{'\dag} {U^\dag }KU{{\Psi '}_q}} \hfill \\ {U^\dag }KU = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1}}&0 \\ 0&{{\lambda _2}} \end{array}} \right) \hfill \\ {U^\dag }{\sigma _3}U = {\sigma _3} \hfill \\ \end{gathered} \end{equation}' />

为了完成这个，我们有：

，意味着

在对角元素上是

，也就是

或者

。而

的本征值就是

，我们最后终于可以得到答案了：

0} {q\Psi _q^\dag {{\Psi '}_q}} = u\sum\limits_q {\left| q \right|b_q^\dag } {b_q}} \end{equation}' />

最后一步我们变换了记号省略了knot.

这种元激发正如玻色算符描述的那样，叫做

速度的电荷密度波，注意到在非相互作用极限下

那么波速就是费米速度，而

会加速这个波。直觉上，这是不同的部分之间虚拟的吸引力费米速度，因此可以加速波，而

则代表相同部分的阻塞力，因此使得波减速了。

我们可以顺手计算一个观测量，例如热容：

你可以自己对比一下这和自由费米子的热容：

。

1.4 进一步的考虑

我们现在到了这样一个地步：哈密顿是玻色模算符的二次的叠加。为了得到一个相应的场论，我们有一套标准的做法。当然，这和大家在量子光学和标准的QFT中学习的恰恰相反。

我们进一步的考虑场算符对应的变换。费米场算符可以看成费米模的线性变换，

由于对易关系可以决定观测量，我们会去计算

因此我们可以这样构造场算符：

。但是这并不可以行得通，因为密度算符并不减少体系的费米子，而左边却湮灭了一个费米子。我们会想要这样去构造费米场算符：

其中

应该湮灭一个费米子态

并且和玻色算符对易。这叫做Klein因子。用上面的关系，Klein因子对玻色算符的依赖关系容易求出。但是作为第一个例子，这有点过于复杂了，而且这个Klein因子给不出什么物理的东西，即使这给出了一个精确的、完整的从费米子表象到玻色子表象的变换。