选修4-4“极坐标与参数方程”教材分析与教学建议
房山教师进修学校中学数学教研室张吉
一、地位与作用
选修专题4－4的《坐标系与参数方程》作为选修系列的二个可选专题安排在高三上学习，这是平面解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，要求学生通过本专题的学习，掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，对培养学生探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力具有重要的意义。
这两个专题是解析几何内容的延续。从上述安排可见，“课标”构建的解析几何课程体系，是以坐标法为核心，依“直线与方程——圆与方程——圆锥曲线与方程——极坐标系与参数方程”为顺序，螺旋上升、循序渐进地展开内容。
二、“课标”对参数方程、极坐标内容的安排
选修4－4的《坐标系与参数方程》：
1．第一讲坐标系
（1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。
（2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换下平面图形的变化情况。
（3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。
2．第二讲参数方程
（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
（2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。（3）举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便抛物线的参数方程，感受参数方程的优越性。
（4）完成一个学习总结报告。报告应包括三方面内容：1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，进一步认识数形结合思想，思考本专题与高中其他内容之间的关系。2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨参数方程、摆线的应用。3）学习本专题的感受、体会。
三．教学要求
（一）第一讲极坐标
1．基本要求：（1）通过实例，体会用距离与角度来刻画点的位置的方便性，了解用距离与角度来刻画点的位置是生活中常用的方法。
（2）理解极坐标系、极坐标的概念，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。
（3）了解极坐标（极角）的多值性，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别。
（4）掌握极坐标与直角坐标的互化公式，能进行极坐标与直角坐标的互化。
2．发展要求：了解极坐标的意义，并会用它刻画点的位置。
说明：极坐标的多值性达到了解即可。
3．简单曲线的极坐标方程
基本要求：（1）理解平面曲线极坐标方程的概念，掌握求极坐标方程的基本方法。
（2）能在极坐标系中给出简单曲线（圆和直线）的极坐标方程。
（3）通过比较圆和直线在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会用方程刻画平面曲线时选择适当坐标系的意义。
（4）能进行极坐标方程与直角坐标方程的互化。
发展要求：能根据图形几何特征和问题特点利用平面曲线的极坐标方程解决一些简单的数学问题。
说明：（1）本节只介绍简单曲线（圆和直线）的极坐标方程，对圆锥曲线统一极坐标方程不作要求。
（2）对于圆，只要求圆心在极点和过极点的极坐标方程，其它情形不作要求。（二）第二讲参数方程
1．曲线的参数方程
基本要求：
（1）了解学习参数方程的必要性。
（2）理解参数方程、普通方程的概念，通过参数方程和普通方程的比较，体会两者的联系和区别。
（3）掌握圆的参数方程及其参数的意义。
（4）能用圆的参数方程解决一些简单的相关问题。
（5）能进行普通方程与参数方程的互化。
发展要求：能根据图形几何特征，选择适当的参数建立曲线的参数方程，并用参数方程解决简单的相关问题。
说明：普通方程与参数方程的互化应控制在基本要求范围内，不宜做太多的拓展。2．圆锥曲线的参数方程
基本要求：
（1）理解椭圆的参数方程，了解参数的意义，会用椭圆的参数方程解决简单的相关问题。
（2）理解双曲线的参数方程，了解参数的意义，会用双曲线的参数方程解决简单的相关问题。
（3）理解抛物线的参数方程，了解参数的意义，会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题。
（4）通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。
3．直线的参数方程
基本要求：（1）掌握直线的参数方程及参数的几何意义。
（2）能用直线的参数方程解决简单的相关问题。
四、几个教学建议
1．教学中，要注意突出教学重点，把握教学要求：
（1）极坐标系、圆锥曲线与直线的参数方程、坐标法思想、数形结合思想与参数法是本专题的教学重点．
（2）根据《高中数学课程标准》的要求，本专题只介绍了特殊位置的圆、直线等简单曲线的极坐标方程，对圆锥曲线的极坐标方程不作要求．极坐标的多值性不要过多讨论，同时，对求出的极坐标方程是曲线的极坐标方程也不要求证明．（3）便于与信息技术整合的教学内容是这些曲线的参数方程中参数的几何意义的认
识．
（4）本专题的学习报告不占用上课时间，利用课外时间完成，可以利用网络或板报的形式进行交流．
2. 坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。
3. 在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。
4. 应通过对具体物理现象的分析（如抛物体运动的轨迹）引入参数方程，使学生了解多数的作用。
5. 应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。
6. 可以组织学生成立兴趣小组，合作研究摆线的性质，收集摆线应用的实例。
7. 可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美。
五、考试要求：
了解坐标系的建立方法和原则，体会在不同的坐标系中用有序实数组对确定点的位置的表示，理解方程与图形、方程和方程的关系，掌握简单的参数方程、极坐标方程和普通方程之间的互化，会从质点运动等的实际问题中抽象出数学问题并建立模型求解质点的参数（或极坐标）方程及解决简单的相关问题．
六、考试内容
1．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，了解极坐标和直角坐标的互化．
2．了解在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程．
3．理解参数方程的基本概念，能选择适当的参数并写出直线、圆和椭圆的参数方程．
七、练习题
（一）第一章：极坐标
一、选择题
1．已知点M ()1,1化为极坐标（πθπρ≤
?-43,2π 2．极坐标方程θρcos 4=表示的曲线是（ ）A ．直线 B.椭圆 C ．圆 D ．抛物线
3．极坐标方程θρsin 4=表示的曲线是（ ）A ．直线 B.椭圆 C ．圆 D ．抛物线
4．极坐标方程θθρsin cos 4-=表示的曲线是（ ）A ．直线 B.椭圆 C ．圆 D ．抛物线
5．极坐标方程4=ρ表示的曲线是（ ）
A ．以原点为圆心，2为半径的圆 B. 以原点为圆心，4为半径的圆
C ．圆心在x 轴上，2为半径的圆
D ．圆心在y 轴上，4为半径的圆
6．极坐标方程6πθ=表示的曲线是（ ）A ．直线 B.椭圆 C ．圆 D ．射线
7．极坐标方程6cos =θρ表示的曲线是（ ）
A ．平行于x 轴的一条直线 B. 平行于y 轴的一条直线
C ．垂直于x 轴的一条直线
D ．垂直于y 轴的一条直线
8．极坐标方程6sin =θρ表示的曲线是（ ）
A ．平行于x 轴的一条直线 B. 平行于y 轴的一条直线
C ．垂直于x 轴的一条直线
D ．垂直于y 轴的一条直线
9．极坐标方程6)6cos(=-π
θρ表示的曲线是（ ）A ．直线 B.椭圆 C ．圆 D ．射线
10．极坐标方程θθρsin 4cos -=表示的曲线是（ ）A ．直线 B.椭圆 C ．圆 D ．射线
11．已知点M 的极坐标为??
??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ） A. B. C. D. ??
-355π， 12． 已知动园：),,(0sin 2cos 22
2是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨迹是( )
A ．直线
B ．圆
C ．抛物线的一部分
D ．椭圆 13.极坐标cos p θ=和参数方程12x t y t ?=--?=+?
（t 为参数）所表示的图形分别是( ) A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线
14.极坐标方程（p-1）（θπ-）=（p ≥0）表示的图形是( )
A.两个圆
B.两条直线
C.一个圆和一条射线
D.一条直线和一条射线
二、填空题
-64π，，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点）
17．极点到直线()cos sin 3ρθθ+________ _____。 18．极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______。
19.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 .
20.在极坐标系中，曲线)3sin(4π
θρ-=一条对称轴的极坐标方程 .
21.在极坐标中，若过点(3抛物线的参数方程，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点.则|AB|= .
22.已知三点A(5，
2π)，B(-8，π611)，C(3，π67)，则ΔABC 形状为 . 23.已知动园：),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的轨
迹是 .
第一章：极坐标参考答案
一、选择题
1．B 2．B 3．B 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9.A 10.C 11.D 12.D 13.D 14.C
二、填空题
15. ()22-， 16. 5，6 17.26 18.抛物线 19. ρcos θ= -1 20. 56
πθ= 21. 3等边三角形 23. 椭圆 （二）第二章 参数方程 一、选择题
1．参数方程()为参数t t y t x ?
??+-=+=3425表示的曲线是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆
2．参数方程()为参数t t y t x ???
????+-=+=234215表示的曲线是（ ）
A ．过点（5，-4），倾斜角为600的直线
B ．过点（5，-4），倾斜角为300的直线
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