第14讲：《一元函数微分、局部线性化及其近似应用》内容小结、课件与典型例题与练习

一、微分的概念

思想：“以直代曲”：在一点的邻域内用切线段代替曲线段，即用理想规则近似一般规则，这也是建立导数、微分模型的依据，再借助极限手段得到一般规律.即

【注1】

是与

无关的量

【注2】当函数表达式，点

和

给定，则

是具体的数值；

没有给出具体数值，则微分一定是后面带有

乘项的表达式（微分结果千万不能漏了

）.

二、可微与可导的等价关系

函数可微的充要条件函数可导，并且函数微分的计算可以归结为导数的计算.即

【注1】直观可以理解函数的导数记号为函数微分比上自变量的微分，即

【注2】用定义判定函数是否在某点可微，是看是否能够找到一个与

无关的量

，使得

如果成立，则可微，否则不可微. 即函数值增量与微分的差是比自变量增量的高阶无穷小.

【注3】利用可微与可导的等价关系，判定函数是否可微可以直接通过判定函数是否可导来实现.

特别注意的是：导数乘以

才是微分！不加

则是导数，两者有本质的区别，一个是变化率，一个函数值增量的近似描述.

三、微分在近似计算中的应用

将不容易计算的函数在某点

(即

)的函数值，或者函数值的增量转换为容易计算点

的函数值与导数值来计算，它们的误差是关于

，即

的高阶无穷小. 即

四、微分的运算法则与微分不变性

1、四则运算

将求导的四则运算法则中的求导符号替换成微分符号即可，即

其中

2、复合运算法则与微分的形式不变性

【注】微分的计算可以转换为计算导数的实现；同样，导数的计算也可以通过微分来计算.尤其是方程确定的隐函数导数的计算，可以基于微分运算法则与微分的形式不变性（保持因变量微分形式不变），通过两端求微分，再两端除以自变量的微分来得到导数结果.具体实例可以参见课件中的例题与练习解答.

高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下在的在线课堂专题讲座选项了解！

参考课件

【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单高数线代下的高等数学概率其他选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！

高等数学课程完整推送内容参见公众号底部菜单高数线代下的高等数学概率其他选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题！

●历届考研真题及详细参考解答浏览考研帮助菜单中考研指南真题练习选项

●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部竞赛实验下竞赛试题与通知选项

●全国赛初赛历届真题解析教学视频请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下在的在线课堂专题讲座选项了解！