【课堂实录】长方体体积
教学目标：
A类目标：学生独立完成课前挑战单：能结合“体积”解释生活中的一些现象；通过动手操作（猜想）得到长方体体积公式。
B类目标：对长方体体积进行构造性证明。
C类目标：激发学生探索“不规则物体”的体积，为下节课的学习做好铺垫。
第一板块：自我挑战，遭遇问题。
l课前挑战：
1．一只乌鸦渴了长方体的体积，它想喝瓶子里的水，可是瓶子里的水太少了，你知道它会怎么办吗？乌鸦依据的原理是什么？
2．制作或购买36个单位小积木（棱长可以是1cm或2cm），然后将这些小积木合在一起构成一个大积木，要求从最“薄”到最“厚（高）”依次把大积木摆出来，并回答下列问题：
在形状发生改变的过程中，大积木的体积是否发生改变？
指出每一个大积木的长、宽、高，以及表面积；
大积木的体积与它的长、宽、高之间是何关系？
3．如何测量一个给定的长方体的体积？如果给你一个单位小正方体，你会测量吗？如果仅仅只给你一把直尺，你能测量吗？为什么？
４．请提出你感兴趣的新问题。
分析：
从学生的课前挑战单反馈来看，第１个问题学生都能感知到“体积”的存在，也能根据自己的“已有经验”来解释一些生活现象，课上再聚焦“如何描述体积”，并在交流分享中意识到无论是固体（石头）、液体（水）、气体（空气）都具有体积；
第２个问题，在积木由“薄”到“厚”的过程中，大积木体积到底有没有变？表面积有没有变？班里有７个同学认为体积变了，课上再聚焦（再动手操作），让学生不仅观察到体积没有变，发现长方体体积与长、宽、高的关系，课上进一步证明为什么“长方体体积=长×宽×高”除了操作证明，从“拉伸变换”的角度，如何进行构造性证明……
第二板块：聚焦问题，展开对话。
师：“乌鸦喝水”的故事大家都很熟悉，乌鸦依据的原理是什么呢？有位同学是这样描述的，你认同他的说法吗？
生1认同！就是石子占了水的空间，水位就会上升。
生2：也可以说因为瓶子的空间是有限的，往瓶里面放石子，石子就会占据水的空间，所以水就会上升！
师：“石子所占的位置，就是它的体积”，这句话怎么理解？
生3：石子本身有大小，放在哪里都会占一定的位置，也就是说占有一定的空间，它占有的空间就是它的体积。
师：噢，如果这样理解的话，水有没有体积？
生4：有！水也占有一定的空间，也具有体积！
师：都同意他们的说法吗？（大家都点头默许）还有哪些物质具有“体积”呢？
生5：桌子也占据空间，也具有体积！还有人也有体积，高高胖胖的人就比瘦瘦小小的人的体积大！
（大家笑了）
生6：还有一些饮料、食用油等也都有体积！
生7：还有空气也有体积！
（大家听到他的发言有些惊讶！他继续解释）
比如一个气球，我们往它里面吹气，这个气球体积是不是会变大？为什么呢？不就是有空气进去占了空间吗……
师：有道理！看来无论是固体（石子）、液体（水）、还是气体（空气）都会占据空间，也就是说它们都具有“体积”。
（达成共识：每个物体所占的空间大小就是它的体积。）
师：（拿出一个长方体模型）对于这个长方体来说，它的体积怎么理解？
生8：就是这个长方体所占的空间大小！
生9：对！也可以说这个长方体在我们这个教室里占了多大的空间。
师：能不能从“测量”的角度来描述一下“长方体体积”？
（我们在描述一个线段的长短时，其实就是“一维测量” ；在描述一个封闭的平面图形的大小，就属于“二维测量”……）
生10（举手）：这个长方体的体积就属于“三维测量”，就是一个规则的（封闭的）三维图形所围成的空间的大小。
聚焦第2小题：
（把36个小积木合在一起构成一个大积木，在形状发生改变的过程中，大积木的体积是否发生改变？）
师：有同学认为“体积改变了，并且组合体由“薄”到“厚”，体积在慢慢增加”，你认同她的说法吗？
生11：不认同！我认为体积没有变化！因为无论你怎么摆，用的都是那36个小积木（每个小积木所占的空间是一定的），所以体积没有发生变化。
生12：还真是这样，可我怎么感觉组合体越来越“高”了，占的空间应该越来越大呀……
生13：那是因为你没注意到“高”在变大时，它的“长”和“宽”在变小！
师：呵呵，是不是这样呢？让我们再动手“摆一摆”，这次同时聚焦一下“长、宽、高”看它们是怎么变化的！
（学生开始动手操作）
师：交流一下：“最薄”的摆法有哪些？
生14（举手）：最薄的摆法就是只摆一层，如果是摆成长方体的话有这么几种摆法：可以是摆一排：长36，宽1，高1；也可以是摆两排：长18，宽2，高1；摆三排：长12，宽3，高1；摆四排：长9，宽4，高1，摆六排：长6，宽6，高1……
师：只摆一层，长、宽、高是如何变化的？
生15：只摆一层，高不变，长和宽一直在变，长变大时，宽就变小了！
师：如果摆两层呢？
生16：摆两层如果也摆成长方体的话，也是这样的变化规律！（长18，宽1，高2；长9，宽2，高2；长6，宽3，高2……）
生17：对！并且每一次长和宽变化时，只是形状和表面积在变。
师：表面为什么会变？
生18：因为摆的长方体形状不一样，遮住的小积木面的数量不一样，摆的越高，遮的小积木的面越多，长方体的表面积就越小。
师：照这样说的话，你觉得这些积木怎么摆，表面积就最大？
生19：一长排摆（长36，宽1，高1）的表面积最大，因为这样遮住的小积木的面最少。
师：一定是这样吗？还有没有表面积更大的摆法？
生20：可以把这些积木所有的面都露出来，只把积木的一条棱（或是顶点）碰在一起，这样表面积就最大了！
（哇！太有意思了，我们摆摆试一试）
师：组合体由“薄”到“厚”，长、宽、高变了，形状变了，表面积变了长方体的体积，体积……
生21：体积始终保持不变！无论长、宽、高怎么变化，它们总的个数都是36个积木。
生22：我还发现组合的每一个长方体，它们的长×宽×高就等于大组合积木的体积（36）。
（学生纷纷应和“对，我们都发现了这个规律”）
师：能不能说组合成的大长方体的体积就是36 ？
生23：应该说把一个小积木当作一个“基准”，大组合积木的体积相当于36个这样的小积木的体积。
师：的确是这样的！我们刚才归纳出来的结论（长×宽×高就是长方体的体积），只是从特例中得出来的，是否具有普遍性，还需要进一步证明。
生24：那就再拿个长方体验证。
师：如果拿出“一个给定的长方体”怎样测量它的体积？
生25：会！可以先找一个小正方体（比如棱长1厘米的小正方体）作为“基准”，在长方体里摆，看能摆多少个这样的小正方体，就可以求出这个长方体的体积。
师：如果只给你一个小正方体呢？
生25:啊！只给一个小正方体，那怎么量……
生26：那只有靠想象了！
（大家笑了）
师：对的！只能靠想象了！有一种“构造性证明”就是靠想象——“拉伸变换”。
（学生惊讶：还真能靠想象来证明长方体体积的求法）
回想一下“一维度量”（长度）可以怎样通过拉伸变换求出它的长度？
生27：确定一个长度“基准”（比如一乍，一寸或1厘米），然后想象着把这个基准拉伸到和被测量的物体一样长（在基准的基础上进行拉伸变换），最后看拉伸的长度是多少个基准（基准为1厘米，拉伸的长度是几个这样的1厘米，基准确定了，拉伸的倍数确定了，物体的长度就确定了！）。
师：对的！那面积测量呢？如何通过“拉伸变换”求出它的面积？
生28：面积测量就是二维的拉伸变换，向两个维度（水平方向和竖直方向）进行拉伸变换：也是先确定一个基准“边长为1的单位小正方形”，先沿一个（水平）方向，拉伸到一个长度，如果拉伸的长度是基准的a倍，就是这一行有a个小正方形，它的面积就是a×1；再沿另一个（竖直）方向进行拉伸变换，如果拉伸的长度是基准（同一个基准）的b倍，就是说每行有a个，现在有b行，一共是a×b个小正方形（基准）。
师：确实是这样，面积测量理解了，那体积测量可不可以也通过拉伸变换来测量呢？
生29：在面积测量“二维变换”的基础上，增加一个维度“高”（变成三维测量），不过体积测量的基准是“棱长为1的单位小正方体”，先沿水平方向，拉伸倍数为a，就是一行有a个小正方体，那它的体积就是a×1；再沿竖直方向，拉伸倍数为b，就是说每行有a个小正方体,现在有b行，一共是a×b个小正方体（基准）；再沿着高的方向，拉伸倍数为c，就是说，像刚才这样a列，b行的小正方体，有c层，一共有a×b×c个小正方体（基准）。
师：在拉伸变换中，我们的“基准”是任意的，只要找到“拉伸的长度”和基准的关系（几倍也就是拉伸系数），乘起来，我们就能求出它的体积……
（哇！好神奇呀！）
师：如果只有一把直尺子，你还能测量出长方体的体积吗？
生30：可以，把直尺上“1厘米”的长度，想象成一个棱长为1厘米的正方体，并以它为一个基准，用尺子沿长的方向，量长方体的长是几个1厘米（也就是一行有几个棱长为1厘米的正方体），再用尺子沿宽的方向，量出宽是几个1厘米（也就是有几行棱长为1厘米的正方体），然后沿高的方向，量出高是几个1厘米（也就是有几层这样棱长为1厘米的正方体），最后把它们的结果相乘，就可以得到长方体的体积。
师：对的，如果沿着“长”的方向拉伸倍数为a,如果沿着“宽”的方向拉伸倍数为b,如果沿着“高”的方向拉伸倍数为h,那么长方体体积（用“V”表示体积）就等于……
生：V=a×b×h
……
师：长方体体积公式我们推导出来了，那正方体的体积呢？
生31：正方体是特殊的长方体，长、宽、高都相等，如果用V表示正方体体积，a表示正方体棱长：V=a×a×a 。
第三板块：基于共识，拓展延伸。
师：我们再回到挑战单第1小题（“乌鸦喝水”的问题），水的体积你能不能测量出来？
生32：我们现在已经会测长方体的体积了，如果把这些水倒进长方体容器里，不就知道了水的长、宽、高了吗，然后就能求出水的体积了。
生33：对呀！水没有固定的形状，把它倒进长方体容器里，它就是长方体的形状，量出水的长、宽、高乘起来就是水的体积。
师：有道理。那石头的体积你也能测出来吗？
生34：这个有点麻烦，可以把石头放水里……
生35：对，给长方体里放些水，再把石头放进去，然后看多了多少水。
师：你的想法很奇特，能不能测出石头的体积，需要实验，需要验证，可以先列出个测量方案，再观察记录，下节课我们再接着交流。
数学活动课掠影：
