求最小的正整数k

  {a^k[(k/n)(1-a)]^n}^[1/(n+k)]

a=0,1时不等式成立；

0=-[nln(1-a)+3ln(n+1)]/lna,

设f(n)=nln(1-a)+3ln(n+1),n∈N+,则

f'(n)=ln(1-a)+3/(n+1),↓，

又f'(n)=0得n1=-3/ln(1-a)-1,

若n1∈N+,则

f(n)|max=f(n1)=[-3/ln(1-a)-1]ln(1-a)+3ln[-3/ln(1-a)]

=-3-ln(1-a)+3ln[-3/ln(1-a)],

∴k>=-f(n1)/lna,①

取满足①式的最小正整数k；

若n1不∈N+,则取与n1最接近的两个正整数n2全部

a=0,1时不等式成立；

0=-[nln(1-a)+3ln(n+1)]/lna,

设f(n)=nln(1-a)+3ln(n+1),n∈N+,则

f'(n)=ln(1-a)+3/(n+1),↓，

又f'(n)=0得n1=-3/ln(1-a)-1,

若n1∈N+,则

f(n)|max=f(n1)=[-3/ln(1-a)-1]ln(1-a)+3ln[-3/ln(1-a)]

=-3-ln(1-a)+3ln[-3/ln(1-a)],

∴k>=-f(n1)/lna,①

取满足①式的最小正整数k；

若n1不∈N+,则取与n1最接近的两个正整数n2全部